Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在邊AB，BC上，∠ADE＝∠CDF.

(1)求證：AE＝CF；

(2)連接DB交EF于點O，延長OB至G，使OG＝OD，連接EG，FG，判斷四邊形DEGF是否是菱形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形DEGF是菱形．理由見解析．

【解析】試題分析：（1）根據正方形的性質可得AD=CD，∠A=∠C=90°，然后利用“角邊角”證明△ADE和△CDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=CF；

（2）求出BE=BF，再求出DE=DF，再根據到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線可得BD垂直平分EF，然后根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形證明．

試題解析：（1）證明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90°，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF；

（2）四邊形DEGF是菱形．

理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC，

∵AE=CF，

∴AB﹣AE=BC﹣CF，

即BE=BF，

∵△ADE≌△CDF，

∴DE=DF，

∴BD垂直平分EF，

又∵OG=OD，

∴四邊形DEGF是菱形．