Question

【題目】在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，對(duì)角線AC平分∠BAD．

（1）如圖1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，試探究邊AD、AB與對(duì)角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

（2）如圖2，若將（1）中的條件“∠B=90°”去掉，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．

（3）如圖3，若∠DAB=90°，探究邊AD、AB與對(duì)角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AC=AD+AB；（2）成立；（3）AD+AB=AC．

【解析】

試題分析：（1）結(jié)論：AC=AD+AB，只要證明AD=AC，AB=AC即可解決問題；

（2）（1）中的結(jié)論成立．以C為頂點(diǎn)，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長線于點(diǎn)E，只要證明△DAC≌△BEC即可解決問題；

（3）結(jié)論：AD+AB=AC．過點(diǎn)C作CE⊥AC交AB的延長線于點(diǎn)E，只要證明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解決問題；

試題解析：（1）AC=AD+AB．

理由如下：如圖1中，在四邊形ABCD中，∠D+∠B=180°，∠B=90°，∴∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60°，∵∠B=90°，∴AB=AC，同理AD=AC，∴AC=AD+AB．

（2）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：以C為頂點(diǎn)，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長線于點(diǎn)E，如圖2，∵∠BAC=60°，∴△AEC為等邊三角形，∴AC=AE=CE，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=120°，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=∠BCE，∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠CBE，∵CA=CB，∴△DAC≌△BEC，∴AD=BE，∴AC=AD+AB．

（3）結(jié)論：AD+AB=AC．理由如下：

過點(diǎn)C作CE⊥AC交AB的延長線于點(diǎn)E，如圖3，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°，∴DCB=90°，∵∠ACE=90°，∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=45°，∴∠E=45°，∴AC=CE．

又∵∠D+∠B=180°，∠D=∠CBE，∴△CDA≌△CBE，∴AD=BE，∴AD+AB=AE．

在Rt△ACE中，∠CAB=45°，∴AE= =AC，∴AD+AB=AC．