Question

【題目】如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點，M為EF的中點，延長AM交BC于點N，連接DM，下列結論：①AE＝AF；②DF＝DN；③AE＝CN；④△AMD和△DMN的面積相等，其中錯誤的結論個數是（　　）

A.3個B.2個C.1個D.0個

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據等腰直角三角形的性質及角平分線的定義求得∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°，繼而可得∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，即可判斷①；證出△ADN≌△BFD，可判斷②；證△ABF≌△ACN，可判斷③；求出∠BAN=∠BNA =67.5°，可得BA=BN，根據等腰三角形三線合一得AM=MN，可判斷④．

解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，
∴AB=AC，∠BCA=∠ABC=45°=∠DAC=∠DAB，AD=BD=CD，AD⊥BC
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC =22.5°
∵AB⊥AC，AD⊥BC
∴∠AEB=67.5°，∠BFD=67.5°=∠AFE
∴∠AFE=∠AEB
∴AF=AE
故①正確；
∵M是EF的中點，AE=AF
∴AM⊥BE，∠DAM=∠CAM=22.5°
∴∠DAN=∠CBE=22.5°，且∠ADB=∠ADN，AD=BD
∴△ADN≌△BDF
∴DF=DN
故②正確；
∵AB=AC，∠ACB=∠DAB=45°，∠ABF=∠CAN=22.5°
∴△ABF≌△ACN
∴AF=CN，

∵AE=AF
∴AE=CN
故③正確；
∵∠BAN=∠BAD+∠DAN=67.5°，∠BNA=∠ACB+∠NAC=67.5°
∴∠BAN=∠BNA
∴BA=BN

∵BE平分∠ABC
∴AM=MN
∴△AMD和△DMN的面積相等
故④正確.

錯誤的結論個數是0，
故選：D．