Question

【題目】如圖，以AB為直徑的⊙O經過點P，C是⊙O上一點，連接PC交AB于點E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）試判斷PD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若 ： =1：2，求AE：EB：BD的值（請你直接寫出結果）；
（3）若點C是弧AB的中點，已知AB=4，求CECP的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：PD與⊙O相切．理由如下：

連接OP，

∵∠ACP=60°，

∴∠AOP=120°，

而OA=OP，

∴∠PAO=∠APO=30°，

∵PA=PD，

∴∠D=∠PAD=30°，

∴∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°，

∴∠OPD=120°﹣30°=90°，

∵OP為半徑，

∴PD是⊙O的切線

（2）解：連BC，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∵ ： =1：2，

∴∠ABC=2∠BAC，

∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，

而∠PAE=30°，

∴∠APE=∠DPE=60°，

∴AE垂直平分PC，如圖，

設BE=x，在Rt△BCE中，∠BCE=30°，則BC=2BE=2x，

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=2BC=4x，

∴AE=AB﹣BE=3x，

∵PA=PD，PE⊥AD，

∴AE=DE，

∴DB=3x﹣x=2x，

∴AE：EB：BD的值為3：1：2

（3）解：如圖，連接OC，

∵弧AC=弧BC，CO⊥AD，

∴∠CAB=∠APC，OC⊥AB，

而∠ACE=∠PCA，

∴△ACE∽△PCA，

∴ ，即AC2=PCCE，

∵A02+OC2=AC2=8，

∴PCCE=AC2=8．

【解析】（1）連OP，根據圓周角定理得到∠AOP=2∠ACP=120°，則∠PAO=∠APO=30°，利用PA=PD得到∠D=∠PAD=30°，則∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°，于是得到∠OPD=120°﹣30°=90°，根據切線的判定定理即可得到PD是⊙O的切線；（2）連BC，由AB為直徑，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB=90°，利用 ： =1：2，則∠ABC=2∠BAC，所以有∠BAC=30°，∠ABC=60°，而∠PAE=30°，得到AE垂直平分PC，設BE=x，然后利用含30°的直角三角形三邊的關系可求出AE：EB：BD的值；（3）根據圓周角定理由弧AC=弧BC，得到∠CAB=∠APC，OC⊥AB，根據相似三角形的判定方法易得△ACE∽△PCA，則 ，即AC2=PCCE，利用勾股定理有A02+OC2=AC2=8，即可得到CECP的值．