Question

如圖，已知半徑為1的⊙O₁與x軸交于A，B兩點，圓心O₁的坐標為（2，0），二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過A，B兩點．
（1）求二次函數的解析式；
（2）射線OM從y軸正半軸開始，繞點O順時針方向以每秒15°的速度旋轉，幾秒后射線OM與⊙O₁相切？（切點為M）
（3）當射線OM與⊙O₁相切時，在射線OM上是否存在一點P，使得以P，O，A為頂點的三角形與△OO₁M相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據圓心的坐標和圓的半徑求出點A、B的坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）根據切線的定義可得O₁M⊥OM，然后利用直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠O₁OM=30°，再分OM在第一象限和第四象限兩種情況求出旋轉角，再列式求出時間即可；
（3）①OM在第一象限時，過點A作AP₁⊥x軸交OM于P₁，解直角三角形求出P₁A，然后寫出點P的坐標即可；過點A作AP₂⊥OM于P₂，過點P₂作P₂H⊥x軸于H，先根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出P₂A，再求出OP₂，然后求出OH、P₂H，再寫出點P的坐標即可；②OM在第四象限時，利用軸對稱的性質寫出點P的坐標即可．

解答：解：（1）∵圓心O₁的坐標為（2，0），⊙O₁的半徑是1，
∴點A（1，0），B（3，0），
∵二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過A，B兩點，
∴

-1+b+c=0 -9+3b+c=0

，
解得

b=4 c=-3

，
∴二次函數解析式為y=-x²+4x-3；

（2）∵OM是⊙O₁的切線，
∴O₁M⊥OM，
∵OM₁=

1

2

OO₁=1，
∴∠O₁OM=30°，
①OM在第一象限時，射線OM旋轉了90°-30°=60°，
∵射線OM從y軸正半軸開始，繞點O順時針方向以每秒15°的速度旋轉，
∴射線OM旋轉了60°÷15°=4秒；
②由對稱性可知OM在第四象限內與⊙O₁相切于點M，
射線OM旋轉了90°+30°=120°，
∵射線OM從y軸正半軸開始，繞點O順時針方向以每秒15°的速度旋轉，
∴射線OM旋轉了120°÷15°=8秒；
綜上所述，4秒或8秒后射線OM與⊙O₁相切；

（3）存在．
①OM在第一象限時，過點A作AP₁⊥x軸交OM于P₁，可得Rt△OP₁A∽Rt△△OO₁M，
P₁A=OA•tan30°=1×

3

3

=

3

3

，
∴點P₁（1，

3

3

），
②過點A作AP₂⊥OM于P₂，過點P₂作P₂H⊥x軸于H，可得Rt△OAP₁∽Rt△△OO₁M，
在Rt△OP₂A中，P₂A=

1

2

OA=

1

2

×1=

1

2

，
OP₂=OA•cos30°=1×

3

2

=

3

2

，
在Rt△OP₂H中，OH=OP₂×cos30°=

3

2

×

3

2

=

3

4

，
P₂H=OP₂×sin30°=

3

2

×

1

2

=

3

4

，
∴點P₂（

3

4

，

3

4

）；
②OM在第四象限內與⊙O₁相切于點M時，由對稱性知，還有P₃（1，-

3

3

），P₄（

3

4

，-

3

4

），
綜上所述，符合條件的點P有P₁（1，

3

3

），P₂（

3

4

，

3

4

），P₃（1，-

3

3

），P₄（

3

4

，-

3

4

）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，圓的切線的定義，相似三角形的判定，解直角三角形，軸對稱的性質，難點在于（2）（3）要分情況討論．