Question

【題目】如圖，在中，，為邊上一點，為邊的中點，過點作，交的延長線于點，連結．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；

（2）若點為邊的中點，當線段BC與線段AC滿足什么數量關系時，四邊形為正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析，

【解析】

（1）根據平行線的性質得到∠AFE=∠BDE，根據全等三角形的性質得到AF=BD，于是得到結論；

（2）首先證明四邊形ACDF是矩形，再利用添加的條件：證明CA=CD即可解決問題；

（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠BDE，

為的中點，

在△AEF與△BED中，

∴△AEF≌△BED，

∴AF=BD，

∵AF∥BD，

∴四邊形ADBF是平行四邊形；

（2） 理由如下：

為的中點，

CD=DB，

AE=BE，

∴DE∥AC，

∴∠FDB=∠C=90°，

∵AF∥BC，

∴∠AFD=∠FDB=90°，

∴∠C=∠CDF=∠AFD=90°，

∴四邊形ACDF是矩形，

∵BC=2AC，CD=BD，

∴CA=CD，

∴四邊形ACDF是正方形．