Question

【題目】直線y=2x+m（m＞0）與x軸交于點A（﹣2，0），直線y=﹣x+n（n＞0）與x軸、y軸分別交于B、C兩點，并與直線y=2x+m（m＞0）相交于點D，若AB=4．

（1）求點D的坐標；

（2）求出四邊形AOCD的面積；

（3）若點P為x軸上一動點，且使PD+PC的值最小，不寫過程，直接寫出點P的坐標。

Answer 1

【答案】（1）D點坐標為（﹣， ）；

（2）四邊形AOCD的面積=；

（3）點E的坐標為（2﹣2，0）、（﹣2﹣2，0）、（2，0）、（0，0）．

【解析】試題分析：（1）先把A點坐標代入y=2x+m得到m=4，則y=-2x+4，再利用AB=4可得到B點坐標為（2，0），則把B點坐標代入y=-x+n可得到n=2，則y=-x+2，然后根據兩直線相交的問題，通過解方程組得到D點坐標；

（2）先確定C點坐標為（0，2），然后利用四邊形AOCD的面積=S△DAB-S△COB進行計算即可；（3）先利用A、C兩點的坐標特征得到△ACO為等腰直角三角形，AC=，然后分類討論：當AE=AC=時，以A點為圓心，2畫弧交x軸于E1點和E2點，再寫出它們的坐標；當CE=CA時，E3點與點A關于y軸對稱，即可得到它的坐標；當EA=EC時，E4點為坐標原點．

試題解析：（1）把A（﹣2，0）代入y=2x+m得﹣4+m=0，

解得m=4，

∴y=﹣2x+4，

∵AB=4，A（﹣2，0），

∴B點坐標為（2，0），

把B（2，0）代入y=﹣x+n得﹣2+n=0，

解得n=2，

∴y=﹣x+2，

解方程組得，

∴D點坐標為（﹣， ）；

（2）當x=0時，y=﹣x+2=2，

∴C點坐標為（0，2），

∴四邊形AOCD的面積=S△DAB﹣S△COB=×4×﹣×2×2=；

（3）∵A（﹣2，0），C（0，2），

∴AC=，

當AE=AC=時，E1點的坐標為（﹣2，0），E2點的坐標為（﹣﹣2，0）；

當CE=CA時，E3點的坐標為（2，0），

當EA=EC時，E4點的坐標為（0，0），

綜上所述，點E的坐標為（﹣2，0）、（﹣﹣2，0）、（2，0）、（0，0）．