Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+1與y=-

3

4

x+3交于點A，分別交x軸于點B和點C，點D是直線AC上的一個動點．
（1）求點A，B，C的坐標；
（2）當△CBD為等腰三角形時，求點D的坐標；
（3）在直線AB上是否存在點E，使得以點E，D，O，A為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出

BE

CD

的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）在y=x+1中，當y=0時，x+1=0，∴x=-1，點B的坐標為（-1，0）．（1'）
在y=-

3

4

x+3中，當y=0時，-

3

4

x+3=0，∴x=4，點C的坐標為（4，0）． （2分）
由題意，得

y=x+1 y=- 3 4 x+3

解得

x= 8 7 y= 15 7

∴點A的坐標為（

8

7

，

15

7

）．（3分）

（2）當△CBD為等腰三角形時，有以下三種情況，如圖（1）．設動點D的坐標為（x，y）．
由（1），得B（-1，0），C（4，0），∴BC=5．
①當BD₁=D₁C時，過點D₁作D₁M₁⊥x軸，垂足為點M₁，則BM₁=M₁C=

1

2

BC．
∴BM₁=

5

2

，OM₁=

5

2

-1=

3

2

，x=

3

2

．
∴y=-

3

4

×

3

2

+3=

15

8

，點D₁的坐標為(

3

2

，

15

8

)．（4分）
②當BC=BD₂時，過點D₂作D₂M₂⊥x軸，垂足為點M₂，則D₂M₂²+M₂B²=D₂B²，
∵M₂B=-x-1，D₂M₂=-

3

4

x+3，D₂B=5，
∴（-x-1）²+（-

3

4

x+3）²=5²．
解得x₁=-

12

5

，x₂=4（舍去）．此時，y=-

3

4

×(-

12

5

)+3=

24

5

．
∴點D₂的坐標為(-

12

5

，

24

5

)．（6分）
③當CD₃=BC，或CD₄=BC時，同理可得D₃（0，3），D₄（8，-3）．（9分）
由此可得點D的坐標分別為D₁（

3

2

，

15

8

），D₂（-

12

5

，

24

5

），D₃（0，3），D₄（8，-3）．
評分說明：符合條件的點有4個，正確求出1個點的坐標得（1分），2個點的坐標得（3分），3個點的坐標得（5分），4個點的坐標得滿分；與所求點的順序無關．

（3）存在．以點E，D，O，A為頂點的四邊形是平行四邊形有以下三種情形，如圖（2）．
①當四邊形AE₁OD₁為平行四邊形時，

BE1

CD1

=

3 2

20

． （10分）
②當四邊形AD₂E₁O為平行四邊形時，

BE1

CD2

=

2

10

．（11分）
③當四邊形AOD₁E₂為平行四邊形時，

BE2

CD1

=

27 2

20

．（12分）