Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，以為邊作正方形，請解決下列問題：

（1）求點和點的坐標；

（2）求直線的解析式；

（3）在直線上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）點，點；（2）；（3）點，點．

【解析】

（1）根據待定系數法，可得直線的解析式是：，進而求出，過點作軸于點，易證，從而求出點D的坐標；

（2）過點作軸于點，證得：，進而得，根據待定系數法，即可得到答案；

（3）分兩種情況：點與點重合時， 點與點關于點中心對稱時，分別求出點P的坐標，即可．

（1）經過點，

，

直線的解析式是：，

當時，，解得：，

點，

過點作軸于點，

在正方形中，，，

，

，

，

，

在和中，

∵，

∴，

，

點；

（2）過點作軸于點，

同上可證得：，

∴CM=OB=3，BM=OA=4，OB=3+4=7，

∴，

設直線得解析式為：（為常數），

代入點得：，解得：，

∴直線的解析式是：；

（3）存在，理由如下：

點與點重合時，點；

點與點關于點中心對稱時，過點P作PN⊥x軸，

則點C是BP的中點，CMPN，

∴CM是的中位線，

∴PN=2CM=6，BN=2BM=8，

∴ON=3+8=11，

∴點

綜上所述：在直線上存在點，使為等腰三角形，坐標為：，．