Question

如圖，已知拋物線的頂點為M（2，-4），且過點A（-1，5），連接AM交x軸于點B．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）求點B的坐標；
（3）設點P（x，y）是拋物線在x軸下方、頂點左方一段上的動點，連接PO，以P為頂點、PO為腰的等腰三角形的另一頂點Q在x軸的垂線交直線AM于點R，連接PR，設△PQR的面積為S，求S與x之間的函數關系式；
（4）在上述動點P（x，y）中，是否存在使S_△PQR=2的點？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線過M（2，-4），A（-1，5），O（0，0）三點，用待定系數法即可求出二次函數的解析式．
（2）由于直線AM過A，M兩點，可用待定系數法求出直線的解析式，從而求出直線與x軸的交點B的坐標．
（3）設點P（x，y）則，Q的坐標是（2x，0），把2x代入直線AM的解析式，就可以求出R的坐標．得到QR的長度，QR邊上的高是x，因而△QRP的面積就可以用x表示出來，得到S與x的函數解析式．
（4）使S_△PQR=2，把s=2代入函數的解析式，就可以得到關于x的方程，解方程求解就可以．

解答：解：（1）∵根據拋物線過M（2，-4），A（-1，5），O（0，0）三點，
設拋物線的解析式為y=ax²+bx（a≠0），
把M（2，-4），A（-1，5）代入得

4a+2b=-4 a-b=5

，
解得

a=1 b=-4

，
這條拋物線的解析式為y=x²-4x；

（2）設直線AM的解析式為y=kx+b（k≠0），
把M（2，-4），A（-1，5）兩點代入得

2k+b=-4 -k+b=5

，
解得

k=-3 b=2

，
故直線AM的解析式為y=-3x+2，
令y=0，解得x=

2

3

，
故B點坐標為（

2

3

，0）；

（3）設點P（x，y）則，Q的坐標是（2x，0），
代入直線AM的解析式y=-3x+2，就可以求出R的坐標．
得到QR的長度，QR邊上的高是x，
∴S=

-3x2+x(0＜x＜ 1 3 ) 3x2-x( 1 3 ＜x＜2)

．

（4）s=2代入（3）中函數的解析式即可得
2=-3x²+x或2=3x²-x，
當2=-3x²+x，方程的△＜0，方程無解；
當2=3x²-x，解得：x₁=1，x₂=-

2

3

，
當x=1時y=x²-4x=-3，即拋物線上的P點坐標為（1，-3）時，s=2成立；
當x=-

2

3

＜0（舍去），
∴存在動點P，使S=2，此時P點坐標為（1，-3）．

點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式．以及坐標系中三角形的面積的求法，求線段的長的問題一般要轉化為求函數圖象上的點的坐標的問題．