Question

已知：在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的左側作等腰直角△ADE，解答下列各題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
（i）當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖甲，線段BD，CE之間的位置關系為

BD⊥CE，且BD=CE．

（ii）當點D在線段BC的延長線上時，如圖乙，i）中的結論是否還成立？為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點D在線段BC上運動．
試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，BC⊥CE（點D不與點C，B重合）？試畫出相應圖形，寫出你的探究結果（不用證明）．

Answer 1

分析：（1）（i）垂直（或BD⊥CE），相等（或BD=CE）；
（ii）（i）中的結論是否仍然成立．由于∠BAC=∠DAE=90°，利用等式性質可得∠BAD=∠CAE，而AB=AC，AD=AE，利用SAS可證△ABD≌△ACE，那么BD=CE，∠B=∠ACE，又知∠B+∠ACB=90°，從而易得∠ACE+∠ACB=∠BCE=90°，即BD⊥CE；
（2）畫出和圖甲或圖乙相似的圖即可．

解答：解：（1）（i）垂直（或BD⊥CE），相等（或BD=CE）；
（ii）（i）中的結論是否仍然成立，理由如下
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠B=∠ACE，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCE=90°，
即BD⊥CE；
（2）如右圖所示，
當△ABC滿足∠ACB=45°時，BC⊥CE．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質．解題的關鍵是證明△ABD≌△ACE．