Question

【題目】在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，點D是BC上一點，連接AD，過點A作AG⊥AD，在AG上取點F，連接DF．延長DA至E，使AE=AF，連接EG，DG，且GE=DF．

（1）若AB=2 ，求BC的長；
（2）如圖1，當點G在AC上時，求證：BD= CG；
（3）如圖2，當點G在AC的垂直平分線上時，直接寫出 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，過點A作AH⊥BC于H．

∴∠AHB=∠AHC=90°，

在RT△AHB中，∵AB=2 ，∠B=45°，

∴BH=ABcosB=2 × =2，

AH=ABsinB=2，

在RT△AHC中，∵∠C=30°，

∴AC=2AH=4，CH=ACcosC=2 ，

∴BC=BH+CH=2+2

（2）

證明：如圖1中，

過點A作AP⊥AB交BC于P，連接PG，

∵AG⊥AD，∴∠DAF=∠EAC=90°，

在△DAF和△GAE中，

，

∴△DAF≌△GAE，

∴AD=AG，

∴∠BAP=90°=∠DAG，

∴∠BAD=∠PAG，

∵∠B=∠APB=45°，

∴AB=AP，

在△ABD和△APG中，

，

∴△ABD≌△APG，

∴BD=PG，∠B=∠APG=45°，

∴∠GPB=∠GPC=90°，

∵∠C=30°，

∴PG= GC，

∴BD= CG．

（3）

解：如圖2中，

作AH⊥BC于H，AC的垂直平分線交AC于P，交BC于M．則AP=PC，

在RT△AHC中，∵∠ACH=30°，

∴AC=2AH，

∴AH=AP，

在RT△AHD和RT△APG中，

，

∴△AHD≌△APG，

∴∠DAH=∠GAP，

∵GM⊥AC，PA=PC，

∴MA=MC，

∴∠MAC=∠MCA=∠MAH=30°，

∴∠DAM=∠GAM=45°，

∴∠DAH=∠GAP=15°，

∴∠BAD=∠BAH﹣∠DAH=30°，

作DK⊥AB于K，設BK=DK=a，則AK= a，AD=2a，

∴ = = ，

∵AG=CG=AD，

∴ =

【解析】（1）如圖1中，過點A作AH⊥BC于H，分別在RT△ABH，RT△AHC中求出BH、HC即可．（2）如圖1中，過點A作AP⊥AB交BC于P，連接PG，由△ABD≌△APG推出BD=PG，再利用30度角性質即可解決問題．（3）如圖2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分線交AC于P，交BC于M．則AP=PC，作DK⊥AB于K，設BK=DK=a，則AK= a，AD=2a，只要證明∠BAD=30°即可解決問題．本題考查相似三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、直角三角形30度角性質、線段垂直平分線性質等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造全等三角形，學會設參數解決問題，屬于中考壓軸題．