Question

如圖，有A、B、C三種不同型號的卡片，每種卡片各有10張，其中A型卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是長為b、寬a的長方形，c型卡片是邊長為b的正方形．
（1）從其中取出若干張卡片，每種卡片至少取一張，把取出的這些卡片拼成一個正方形（所拼的圖中既不能有縫隙，也不能有重合部分），能拼成幾種不同的正方形，并說說你這樣拼的理由；
（2）從其中取出17張卡片，每種卡片至少取一張，取出的這些卡片能否拼成一個正方形（所拼的圖中既不能有縫隙，也不能有重合部分），說說你的理由．

Answer 1

分析：（1）由于A型卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是長為b，寬為a的長方形，C型卡片是邊長為b的正方形，并且每種卡片各有10張，若用A、B、C三種卡片拼出一個正方形，可以讓正方形的邊長分別為a+b，a+2b，2a+b，2a+2b，a+3b，3a+b，由此即可確定方法；
（2）由上題方案即可求解．

解答：解：A型卡片的面積為a²，B型卡片的面積為ab，C型卡片的面積為b²．
（1）可以看出①A型和C型各取1張，B型取2張．他們的面積和為a²+2ab+b²．可以拼成一個邊長為a+b的正方形；
②B型和C型各取4張，A型取1張．他們的面積和為a²+4ab+4b²．可以拼成一個邊長為a+2b的正方形；
③A型和B型各取4張，C型取1張．他們的面積和為4a²+4ab+b²．可以拼成一個邊長為2a+b的正方形；
④A型和C型各取4張，B型取8張．他們的面積和為4a²+8ab+4b²．可以拼成一個邊長為2a+2b的正方形；
⑤A型取1張，B型取6張，C型取9張．他們的面積和為a²+6ab+9b²．可以拼成一個邊長為a+3b的正方形；
⑥A型取9張，B型取6張，C型取1張．他們的面積和為9a²+6ab+b²．可以拼成一個邊長為3a+b的正方形；

（2）從上面的答案可以看出，按照上面的規律，17張卡片不能拼成一個正方形．

點評：此題考查了作圖-應用與設計作圖，涉及到整式的混合運算，對幾何圖形的整體分析，對完全平方公式的靈活應用，本題難度適中．