Question

【題目】如圖，在平行四邊形 ABCD 中， AD 2 AB ；CF 平分 BCD 交 AD 于 F ，作 CE AB ， 垂足 E 在邊 AB 上，連接 EF ．則下列結論：① F 是 AD 的中點； ② S△EBC 2S△CEF；③ EF CF ； ④ DFE 3AEF ．其中一定成立的是_____．（把所有正確結論的序號都填在橫線上）

Answer 1

【答案】①③④.

【解析】

由角平分線的定義和平行四邊形的性質可證得CD=DF，進一步可證得F為AD的中點，由此可判斷①；延長EF，交CD延長線于M，分別利用平行四邊形的性質以及①的結論可得△AEF≌△DMF，結合直角三角形的性質可判斷③；結合EF=FM，利用三角形的面積公式可判斷②；在△DCF和△ECF中利用等腰三角形的性質、外角的性質及三角形內角和可得出∠DFE=3∠AEF，可判斷④，綜上可得答案.

解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，

∴∠DFC=∠BCF，

∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF，

∴∠DFC=∠DCF，∴CD=DF，

∵AD=2AB，∴AD=2CD，

∴AF=FD=CD，即F為AD的中點，故①正確；

延長EF，交CD延長線于M，如圖，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，

∴∠A=∠MDF，

∵F為AD中點，∴AF=FD，

又∵∠AFE=∠DFM，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴FE=MF，∠AEF=∠M，

∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，

∴∠ECD=∠AEC=90°，

∵FM=EF，∴FC=FM，故③正確；

∵FM=EF，∴，

∵MC＞BE，

∴＜2，故②不正確；

設∠FEC=x，則∠FCE=x，

∴∠DCF=∠DFC=90°－x，

∴∠EFC=180°－2x，

∴∠EFD=90°－x+180°－2x=270°－3x ，

∵∠AEF=90°－x，

∴∠DFE=3∠AEF，故④正確；

綜上可知正確的結論為①③④.

故答案為①③④.