Question

【題目】如圖AB是△ABC的外接圓⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線CM，延長BC到點D，使CD=BC，連接AD交CM于點E，若⊙OD半徑為3，AE=5，

（1）求證：CM⊥AD；

（2）求線段CE的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】（1）連接OC，根據切線的性質和圓周角定理證得AC垂直平分BD，然后根據平行線的判定與性質證得結論；

（2）根據相似三角形的判定與性質證明求解即可.

證明：（1）連接OC

∵CM切⊙O于點C，

∴∠OCE=90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵CD=BC，

∴AC垂直平分BD，

∴AB=AD，

∴∠B=∠D

∵∠B=∠OCB

∴∠D=∠OCB

∴OC∥AD

∴∠CED=∠OCE=90°

∴CM⊥AD.

（2）∵OA=OB，BC=CD

∴OC=AD

∴AD=6

∴DE=AD-AE=1

易證△CDE～△ACE

∴

∴CE2=AE×DE

∴CE=