Question

【題目】在矩形ABCD中，已知AD=4，AB=3，點P是直線AD上的一點，PE⊥AC，PF⊥BD，E，F分別是垂足，AG⊥BD與點G，

(1) 如圖①點P在線段AD上，求PE+PF的值；

(2) 如圖②點P在直線AD上，求PEPF的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）過點A作AG⊥BD于點G，連接PO，首先利用勾股定理求出BD=5，然后利用三角形面積列式求出AG，根據S△AOD=S△AOP+S△POD可得OD·AG=OA·PE +OD·PF，結合OA=OD可求出AG=PE+PF=；

（2）根據S△AOD=S△AOPS△POD可得OD·AG=OA·PEOD·PF，結合OA=OD可求出AG=PEPF=.

解：(1)如圖③，過點A作AG⊥BD于點G，連接PO，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA＝OD，∠BAD＝90°.

在Rt△ABD中，AD=4，AB=3，

由勾股定理得BD=.

∵AG⊥BD，

∴S△ABD=AB·AD=BD·AG

∴AB·AD=BD·AG

∴3×4=5AG，解得AG=.

∵S△AOD=S△AOP+S△POD，

∴OD·AG=OA·PE +OD·PF.

∵OA=OD，

∴AG=PE+PF.

∴PE+PF= AG=；

(2)如圖④，過點A作AG⊥BD于點G，連接PO，

∵S△AOD=S△AOPS△POD，

∴OD·AG=OA·PEOD·PF，

∵OA=OD，

∴AG=PEPF，

∴PEPF= AG=.