Question

（2012•青神縣二模）東方專賣店專銷某種品牌的計算器，進價l2元/只，售價20元/只．為了促銷，專賣店決定凡是買10只以上的，每多買一只，售價就降低O.10元（例如．某人買20只計算器，于是每只降價O.10×（20-10）=1元，就可以按19元/只的價格購買），但是最低價為16元/只．
（1）求顧客一次至少買多少只，才能以最低價購買？
（2）寫出當一次購買x只時（x＞10），利潤y（元）與購買量x（只）之間的函數關系式；
（3）有一天，一位顧客買了46只，另一位顧客買了50只，專賣店發現賣了50只反而比賣46只賺的錢少，為了使每次賣的多，賺錢也多，在其他促銷條件不變的情況下，最低價16元/只至少要提高到多少？為什么東方專賣店專銷某種品牌的計算器，進價12元/只，售價20元/只．為了促銷，專賣店決定凡是買10只以上的，每多買一只，售價就降低O.10元（例如．某人買20只計算器，于是每只降價O.10×（20-10）=1元，就可以按19元/只的價格購買），但是最低價為16元/只．

Answer 1

分析：①
（1）理解促銷方案，正確表示售價，得方程求解；
（2）當x=50時，會以最低價購買，所以分類討論，①10＜x≤50，②x＞50，分別得出y與x的表達式即可．
（3）求出取得最大利潤時的售價，根據函數性質解釋現象，進一步解決問題．
②
（1）理解促銷方案，正確表示售價，得方程求解；
（2）因為設了最低價，所以超過一定數量也按最低價銷售，不再打折，所以需分類討論；先得出y與x的關系式，令y=180，解出x的值，即可作出判斷．
（3）求出取得最大利潤時的售價，根據函數性質解釋現象，進一步解決問題．

解答：①解：（1）設需要購買x只，
則20-0.1（x-10）=16，
得x=50，
故一次至少要購買50只；
（2）當10＜x≤50時，y=[20-12-0.1（x-10）]x，即y=-0.1x²+9x，
當x＞50時，y=（20-16）x，即y=4x，
綜上可得：y=

-0.1x2+9x(10＜x≤50) 4x(x＞50)

．
（3）當10＜x≤50時，y=-0.1x²+9x，
當x=-

b

2a

=45時，y有最大值202.5元；
此時售價為20-0.1×（45-10）=16.5（元），
故最低價至少要提高到16.5元/只．

②解：（1）設需要購買x只，
則20-0.1（x-10）=16，
得x=50，
故一次至少要購買50只；
（2）當0≤x≤10時，y=（20-12）x=8x，即y=8x，
把y=180代入，解得x=22.5（舍去）；
當10＜x≤50時，y=[20-12-0.1（x-10）]x，即y=-0.1x²+9x，
把y=180代入，解得x₁=30，x₂=60（舍去）；
當x＞50時，y=（20-16）x，即y=4x，
把y=180代入，解得x=45（舍去）．
故該顧客此次所購買的數量是30只．
（3）當10＜x≤50時，y=-0.1x²+9x，
當x=-

b

2a

=45時，y有最大值202.5元；
此時售價為20-0.1×（45-10）=16.5（元），
故最低價至少要提高到16.5元/只．

點評：此題主要考查了函數的綜合應用，根據函數的對稱性討論最大值問題，需考慮自變量的取值范圍，難度較大．