Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，E為BC上一點，以CE為直徑作⊙O，AB與⊙O相切于點D，連接CD，若BE＝OE＝2．

(1)求證：∠A＝2∠DCB；

(2)求圖中陰影部分的面積（結果保留和根號）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2-π．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，求出∠ODB=90°，求出∠B=30°，∠DOB=60°，求出∠DCB度數，關鍵三角形內角和定理求出∠A，即可得出答案；

（2）根據勾股定理求出BD，分別求出△ODB和扇形DOE的度數，即可得出答案．

試題解析：（1）連接OD，

∵AB是⊙O切線，

∴∠ODB=90°，

∴BE=OE=OD=2，

∴∠B=30°，∠DOB=60°，

∵OD=OC，

∴∠DCB=∠ODC=∠DOB=30°，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠A=60°，

∴∠A=2∠DCB；

（2）∵∠ODB=90°，OD=2，BO=2+2=4，由勾股定理得：BD=2，

∴陰影部分的面積S=S△ODB-S扇形DOE=×2×2-=2-π．