Question

已知拋物線y=-

2

3

（x+2）²+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，C點(diǎn)在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的兩個(gè)根．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出拋物線的大致圖象并標(biāo)明頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）連AC、BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)（與A、B不重合），過E作EF∥AC交BC于F，連CE，設(shè)AE=m，△CEF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（4）在（3）的基礎(chǔ)上說明S是否存在最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)方程的兩個(gè)根及函數(shù)的對稱軸，易求A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求出函數(shù)解析式，根據(jù)定點(diǎn)畫出平滑的曲線；
（3）由勾股定理求出AC的長，由三角形內(nèi)的平行關(guān)系，得到一個(gè)比例關(guān)系，從而求出EF，作輔助線把△CEF的面積用m表示出來，再求出其最值，并求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，也解決了第三問．

解答：解：（1）方程x²-10x+16=0的兩根為x₁=8，x₂=2，
∴OB=2，OC=8，
∴B（2，0）C（0，8）
∵函數(shù)y=-

2

3

（x+2）²+k的對稱軸為x=-2，
∴A（-6，0），
即A（-6，0）B（2，0）C（0，8）．（3分）

（2）B點(diǎn)在y=-

2

3

（x+2）²+k上，
∴0=-

2

3

（2+2）²+k，
∴k=

23

3

．（5分）
函數(shù)解析式為y=-

2

3

（x+2）²+

23

3

，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為-2，

23

3

），大致圖象及頂點(diǎn)坐標(biāo)如右．（7分）

（3）∵AE=m，AB=8，
∴BE=8-m，
∵OC=8，OA=6，據(jù)勾股定理得AC=10，
∵AC∥EF，
∴

AC

EF

=

AB

BE

即

10

EF

=

8

8-m

，EF=

5(8-m)

4

，（10分）
過F作FG⊥AB于G，
∵sin∠CAB=sin∠FEB=

4

5

，
而sin∠FEB=

FG

EF

，
∴FG=8-m．  12分
∵S=S_△CEB-S_△FEB=

1

2

×BE×OC-

1

2

×BE×FG=-

1

2

m²+4m，
∴S與m的函數(shù)關(guān)系式為S=-

1

2

m²+4m，m的取值為0＜m＜8．

（4）∵S=-

1

2

m²+4m中-

1

2

＜0，
∴S有最大值．
S=-

1

2

（m-4）²+8，當(dāng)m=4時(shí)，S有最大值為8，
E點(diǎn)坐標(biāo)為：E（-2，0），
∵B（2，0），E（-2-，0），
∴CE=CB
∴△BCE為等腰三角形．

點(diǎn)評：此題考查拋物線性質(zhì)及對稱軸，因圖形很特殊，把具體問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中來解，注意直線平行的應(yīng)用，最后把求面積最值轉(zhuǎn)化到求函數(shù)最值問題，要學(xué)會這種做題思想．