Question

如圖，△ABC的面積等于1，在圖2中，

AD

AB

=

BE

BC

=

CF

CA

=

1

2

，在圖3中，

AD

AB

=

BE

BC

=

CF

CA

=

1

3

，在圖4中，

AD

AB

=

BE

BC

=

CF

CA

=

1

4

，…，在圖n中，

AD

AB

=

BE

BC

=

CF

CA

=

1

n

，則從圖2到圖n中，共有______張圖，△DEF的面積小于

3

5

．

Answer 1

根據題意，畫出上圖，
設S_△ADF=S₁，S_△BDE=S₂，S_△CFE=S₃，S_△DEF=S，AB=c，BC=a，AC=b，
∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

bcsinA=

1

2

absinC①
∵△ABC的面積等于1，
∴由①得，sinA=

2

bc

，sinB=

2

ac

，sinC=

2

ab

，
∵

AD

AB

=

BE

BC

=

CF

CA

=

1

n

，
∴AD=

c

n

，BE=

a

n

，CF=

b

n

，
∴BD=c（1-

1

n

），EC=a（1-

1

n

），AF=b（1-

1

n

），
∴S₁=S₂=S₃=

n-1

n2

，
∴S=1-S₁-S₂-S₃=2-3×

n-1

n2

∵△DEF的面積小于

3

5

，
∴1-3×

n-1

n2

＜

3

5

，2n²-15n+15＜0（n≥2且是自然數），解得2≤n≤6．
∴從圖2到圖n中，共有5張圖，△DEF的面積小于

3

5

．