Question

【題目】（1）問(wèn)題探究：如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中點(diǎn)，AE是∠BAD的平分線(xiàn)，則線(xiàn)段AB，AD，DC之間的等量關(guān)系為　 　；

（2）方法遷移：如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，E是BC的中點(diǎn)，AE是∠BAF的平分線(xiàn)，試探究線(xiàn)段AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）聯(lián)想拓展：如圖③，AB∥CF，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線(xiàn)段AE上，∠EDF＝∠BAE，試探究線(xiàn)段AB，DF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）AD＝AB+DC；（2）AB＝AF+CF，證明詳見(jiàn)解析；（3）AB＝DF+CF，證明詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）結(jié)論：AD＝AB+DC．延長(zhǎng)AE，DC交于點(diǎn)F，證明△ABE≌△FEC（AAS），即可推出AB＝CF，再證明DA＝DF，即可解決問(wèn)題．

（2）結(jié)論：AB＝AF+CF，如圖②，延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，證明方法類(lèi)似（1）．

（3）結(jié)論；AB＝DF+CF．如圖③，延長(zhǎng)AE交CF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，證明方法類(lèi)似（1）．

解：（1）探究問(wèn)題：結(jié)論：AD＝AB+DC．

理由：如圖①中，延長(zhǎng)AE，DC交于點(diǎn)F，

∵AB∥CD，

∴∠BAF＝∠F，

在△ABE和△FCE中，

CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，

∴△ABE≌△FEC（AAS），

∴CF＝AB，

∵AE是∠BAD的平分線(xiàn)，

∴∠BAF＝∠FAD，

∴∠FAD＝∠F，

∴AD＝DF，

∵DC+CF＝DF，

∴DC+AB＝AD．

故答案為AD＝AB+DC．

（2）方法遷移：結(jié)論：AB＝AF+CF．

證明：如圖②，延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴CE＝BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC

∴△AEB≌△GEC（AAS）

∴AB＝GC

∵AE是∠BAF的平分線(xiàn)

∴∠BAG＝∠FAG，

∵∠BAG∠G，

∴∠FAG＝∠G，

∴FA＝FG，

∵CG＝CF+FG，

∴AB＝AF+CF．

（3）聯(lián)想拓展：結(jié)論；AB＝DF+CF．

證明：如圖③，延長(zhǎng)AE交CF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴CE＝BE，

∵AB∥CF，

∴∠BAE＝∠G，

在△AEB和△GEC中，

，

∴△AEB≌△GEC，

∴AB＝GC，

∵∠EDF＝∠BAE，

∴∠FDG＝∠G，

∴FD＝FG，

∴AB＝DF+CF．