Question

【題目】定義:三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個點到該邊所對頂點連線的平方，則稱這個點為三角形該邊的“好點”.如圖1，△ABC中，點D是BC邊上一點，連結AD，若，則稱點D是△ABC中BC邊上的“好點”.

（1）如圖2，△ABC的頂點是網格圖的格點，請僅用直尺畫出AB邊上的一個“好點”.

（2）△ABC中，BC=9，，，點D是BC邊上的“好點”，求線段BD的長.

（3）如圖3，△ABC是的內接三角形，OH⊥AB于點H，連結CH并延長交于點D.

①求證：點H是△BCD中CD邊上的“好點”.

②若的半徑為9，∠ABD=90°，OH=6，請直接寫出的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）或5；（3）①詳見解析；②.

【解析】

（1）作AB邊上的垂線或中線即可；

（2）作AE⊥BC于點E，根據三角函數求出BE、CE、AE的長，設DE為a，分①若點D在點E左側②若點D在點E右側，根據“好點”的定義進行求解即可；

（3）①根據“同弧或等弧所對的圓周角相等”證△AHC∽△DHB，再根據“好點”的定義判斷即可；

②連接AD，根據∠ABD=90°判斷AD為直徑，用勾股定理求出AH的長，再根據勾股定理求出DH的長，根據①中的結論求出CH的長即可求得比值.

（1）如圖所示：D點及為AB邊上的“好點”

（2）作AE⊥BC于點E，由，可設AE=4x，

則BE=3x，CE=6x，

∴BC=9x=9，∴，

∴BE=3，CE=6，AE=4，

設DE=a，

①若點D在點E左側，

由點D是BC邊上的“好點”知，，

∴，即，

解得，（舍去），

∴.

②若點D在點E右側，

由點D是BC邊上的“好點”知，，

∴，即，

解得，（舍去）

∴.

∴或5.

（3）①∵∠CHA=∠BHD，∠ACH=∠DBH

∴△AHC∽△DHB

∴，即

∵OH⊥AB

∴AH=BH

∴

∴點H是△BCD中CD邊上的“好點”.

②連接AD.

∵∠ABD=90°

∴AD為直徑，

∵OH⊥AB，OH=6

∴ ，BD=2OH=12

∴BH=AH=

∴

由①得：

即

∴CH=

∴.