Question

取一張矩形的紙進行折疊，具體操作過程如下：
第一步：先把矩形ABCD對折，折痕為MN，如圖1；
第二步：再把B點疊在折痕線MN上，折痕為AE，點B在MN上的對應點為Bn，得Rt△ABE，如圖2；
第三步：沿EB線折疊得折痕EF，如圖3；
利用展開圖4探究：
（1）△AEF是什么三角形？證明你的結論．
（2）對于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）應該是等邊三角形．先證明△ABE≌△AB′E，得出∠AB'E=90°，∠A=∠BAE，然后證明△AB′E≌△AB′F，得出AE=AF，∠B'AE=∠B'AF，從而可確定∠EAF=60°，繼而得出△AEF是等邊三角形．
（2）根據（1）我們可看出，要想折出等邊三角形，AD≥AF，我們看當AD=AF時，矩形的長和寬的比例是多少，AF：AB=sin60°=2：，那么要想折出等邊三角形，那么矩形的寬就必須小于長的．
解答：解：（1）△AEF是等邊三角形．
證明：∵△ABE與△AB′E完全重合，
∴△ABE≌△AB′E，∠BAE=∠1，
由平行線等分線段定理知EB′=B′F，
又∵∠AB′E=90°
∴△AB′E≌△AB′F，
∴AE=AF，∠1=∠2=∠BAD=30°，
∴△AEF是等邊三角形．

（2）不一定．
由上推證可知當矩形的長恰好等于等邊△AEF的邊AF時，即矩形的寬：長=AB：AF=sin60°=：2
時正好能折出．
設矩形的長為a，寬為b，可知
當b≤a時，按此法一定能折出等邊三角形；
當a＜b＜a時，按此法無法折出完整的等邊三角形．
點評：本題主要考查了折疊的性質以及等邊三角形的判定，根據折疊的性質得出相關的邊和角相等是解題的關鍵．