Question

在平面直角坐標系中，已知橢圓過點，且橢圓的離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在以為直角頂點且內接于橢圓的等腰直角三角形？若存在，求出共有幾個；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由得，                                   ……1分

又．                                            ……2分

故橢圓方程為，

橢圓經過點，則．                        ……3分

所以                                                   ……4分

所以橢圓的標準方程為．                                 ……5分

（2）假設存在這樣的等腰直角三角形.

明顯直線的斜率存在，因為點的坐標為，設直線的方程，則直線的方程為．                                   ……6分

由 得

所以，或

所以點的縱坐標為                                    ……7分

所以．   ……8分

同理                           ……9分

因為是等腰直角三角形，所以，即

                                    ……10分

即

所以，即                         ……11分

所以

即

所以，或                                         ……12分

所以，或．                                          ……13分

所以這樣的直角三角形有三個．                                       ……14分