Question

7．已知：如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點A，C的坐標分別為A（-3，0），C（1，0），$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
（1）求直線AB的解析式；
（2）在x軸上確定一點D，連接DB，使得△ADB與△ABC相似，并求出點D的坐標；
（3）在（2）的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動點，連接PQ，設AP=DQ=m，問是否存在這樣的m使得△APQ與△ADB相似？如存在，請直接寫出m的值；如不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據A（-3，1），C（1，0），求出AC進而得出BC=3求出B點坐標，利用待定系數法求出直線AB的解析式即可；
（2）運用相似三角形的性質就可求出點D的坐標；
（3）①由于△APQ與△ADB已有一組公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB兩種情況討論，然后運用相似三角形的性質建立關于m的方程，就可解決問題，
②當點D和C重合時，同①的方法可得；

解答 解：（1）∵A（-3，0），C（1，0），
∴AC=4，
∵$\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$，
∴BC=$\frac{3}{4}$×4=3，
∴B（1，3），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{k+b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{4}$

（2）若△ADB與△ABC相似，
①當點D與C重合時，△ADB∽△ABC，此時D（1，0），
②過點B作BD⊥AB交x軸于D，∴∠ABD=∠ACB=90°，如圖1，

此時$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$，即AB²=AC•AD．
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴25=4AD，
∴AD=$\frac{25}{4}$，
∴OD=AD-AO=$\frac{25}{4}$-3=$\frac{13}{4}$，
∴點D的坐標為（$\frac{13}{4}$，0）．即：符合條件的D（$\frac{13}{4}$，0）和（1，0）

（3）∵AP=DQ=m，
∴AQ=AD-QD=$\frac{25}{4}$-m．
Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如圖2，

則有$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AD}$，
∴AP•AD=AB•AQ，
∴$\frac{25}{4}$m=5（$\frac{25}{4}$-m），
解得m=$\frac{25}{9}$．
Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如圖3，

則有$\frac{AP}{AD}=\frac{AQ}{AB}$，
∴AP•AB=AD•AQ，
∴5m=$\frac{25}{4}$（$\frac{25}{4}$-m），
解得：m=$\frac{125}{36}$，
②當點D與C重合時，可得m=$\frac{16}{9}$或m=$\frac{20}{9}$．
綜上所述：符合要求的m的值為$\frac{25}{9}$或$\frac{125}{36}$或$\frac{16}{9}$或$\frac{20}{9}$．

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了是待定系數法，涉及到相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識，考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題，解本題的關鍵是關鍵相似建立方程求解．