Question

如圖，已知△ABC三頂點在⊙O上，D為

BC

的中點，AD與BC相交于點E，AC的延長線交過C、D、E三點的圓⊙O₁于點F．
（1）求證：∠BAD=∠DFE；
（2）求證：△AEC∽△FED；
（3）AB=AD是否成立？若成立則證明之，若不成立，則請你增加一個條件使其成立，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接CD，根據等弧所對的圓周角相等得到∠BAD=∠BCD=∠EFD；
（2）根據等弧所對的圓周角相等得到∠CAE=∠BAD，結合（1）中的結論得到∠CAE=∠EFD，再根據圓內接四邊形的性質得到∠ACE=∠FDE，從而證明三角形相似；
（3）能夠根據結論分析探討需要滿足的條件，熟練運用圓周角定理的推論進行角之間的轉換．

解答：（1）證明：連接CD，
∵∠ABD=∠BCD，∠BCD=∠EFD，
∴∠BAD=∠EFD．

（2）證明：∵D為

BC

的中點，
∴∠CAE=∠BAD．
∴∠CAE=∠EFD．
又∵∠AEC=∠EDF，
∴△ACE∽△FDE．

（3）解：由題設不足以說明AB=AD．
若AB=AD，則∠ABD=∠ADB，
由A、B、D、C四點在⊙O上知∠FCD=∠ABD，
又在⊙O₁中，∠FCD=∠FED，∠FED=∠ADB，
只須增加條件∠FED=∠ADB，
即EF∥BD，
逆推之，即可證明AD=AB．

點評：綜合運用了圓周角定理推論、圓內接四邊形的性質以及相似三角形的性質和判定．連接兩圓的公共弦也是圓中常見的輔助線之一．