Question

【題目】已知圓O的半徑長為2，點A、B、C為圓O上三點，弦BC=AO，點D為BC的中點，

(1)如圖，連接AC、OD，設∠OAC=α，請用α表示∠AOD；

(2)如圖，當點B為的中點時，求點A、D之間的距離：

(3)如果AD的延長線與圓O交于點E，以O為圓心，AD為半徑的圓與以BC為直徑的圓相切，求弦AE的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）連接OB、OC，可證△OBC是等邊三角形，根據垂徑定理可得∠DOC等于30°，OA=OC可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的內角和定理即可表示出∠AOD的值.

（2）連接OB、OC，可證△OBC是等邊三角形，根據垂徑定理可得∠DOB等于30°，因為點D為BC的中點，則∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD等于90°，根據OA=OB=2,在直角三角形中用三角函數及勾股定理即可求得OD、AD的長.

（3）分兩種情況討論：兩圓外切，兩圓內切.先根據兩圓相切時圓心距與兩圓半徑的關系，求出AD的長，再過O點作AE的垂線，利用勾股定理列出方程即可求解.

(1)如圖1：連接OB、OC.

∵BC=AO

∴OB=OC=BC

∴△OBC是等邊三角形

∴∠BOC=60°

∵點D是BC的中點

∴∠BOD=

∵OA=OC

∴=α

∴∠AOD=180°-α-α-=150°-2α

(2)如圖2：連接OB、OC、OD.

由（1）可得：△OBC是等邊三角形，∠BOD=

∵OB=2，

∴OD=OBcos=

∵B為的中點，

∴∠AOB=∠BOC=60°

∴∠AOD=90°

根據勾股定理得：AD=

（3）①如圖3.圓O與圓D相內切時：

連接OB、OC，過O點作OF⊥AE

∵BC是直徑，D是BC的中點

∴以BC為直徑的圓的圓心為D點

由（2）可得：OD=，圓D的半徑為1

∴AD=

設AF=x

在Rt△AFO和Rt△DOF中，

即

解得：

∴AE=

②如圖4.圓O與圓D相外切時：

連接OB、OC，過O點作OF⊥AE

∵BC是直徑，D是BC的中點

∴以BC為直徑的圓的圓心為D點

由（2）可得：OD=，圓D的半徑為1

∴AD=

在Rt△AFO和Rt△DOF中，

即

解得：

∴AE=