Question

如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEFG…叫做“正三角形的漸開線”，其中

CD

、

DE

、

EF

、…的圓心依次為A、B、C…．當漸開線延伸開時，形成三個扇形S₁、S₂、S₃和一系列扇環S₄、S₅、…若正△ABC的邊長為1．
（1）求出曲線CDEFG的總長度．
（2）求出扇環S₄的面積．

Answer 1

分析：（1）曲線CDEFG的總長度是4段弧的長度，圓心角都是120°，半徑分別為1，2，3，4，據弧長公式計算即可；
（2）扇環S₄的面積是兩個扇形的面積的差．

解答：解：（1）∵正△ABC的邊長為1．
∴BD=2，CE=3，AF=4，
∴曲線CDEFG的總長度

120π×(1+2+3+4)

180

=

20π

3

；

（2）S₄=

120π×42

360

-

120π×12

360

=5π．

點評：本題考查了弧長的計算、扇形面積的計算以及等邊三角形的性質，是基礎知識要熟練掌握．