Question

【題目】如圖1，將矩形ABCD沿DE折疊，使頂點A落在DC上的點A′處，然后將矩形展平，沿EF折疊，使頂點A落在折痕DE上的點G處．再將矩形ABCD沿CE折疊，此時頂點B恰好落在DE上的點H處．如圖2．

（1）求證：EG=CH；

（2）已知AF=，求AD和AB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）AD= +2；AB= 2+2．

【解析】

試題分析：（1）由折疊的性質及矩形的性質可知AE=AD=EG，BC=CH，再根據四邊形ABCD是矩形，可得AD=BC，等量代換即可證明EG=CH；

（2）由折疊的性質可知∠ADE=45°，∠FGE=∠A=90°，AF=，那么DG=，利用勾股定理求出DF=2，于是可得AD=AF+DF=+2；再利用AAS證明△AEF≌△BCE，得到AF=BE，于是AB=AE+BE=+2+=2+2．

試題解析：（1）證明：由折疊知AE=AD=EG，BC=CH，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，

∴EG=CH；

（2）解：∵∠ADE=45°，∠FGE=∠A=90°，AF=，

∴DG=，DF=2，

∴AD=AF+DF=+2；

由折疊知∠AEF=∠GEF，∠BEC=∠HEC，

∴∠GEF+∠HEC=90°，∠AEF+∠BEC=90°，

∵∠AEF+∠AFE=90°，

∴∠BEC=∠AFE，

在△AEF與△BCE中，

，

∴△AEF≌△BCE（AAS），

∴AF=BE，

∴AB=AE+BE=+2+=2+2．