Question

如圖，直線y=4x+4與x軸、y軸相交于B、C兩點，拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）過點B、C，且與x軸另一個交點為A，以OC、OA為邊作矩形OADC，CD交拋物線于點G．

（1）求拋物線的解析式以及點A的坐標；

（2）已知直線x=m交OA于點E，交CD于點F，交AC于點M，交拋物線（CD上方部分）于點P，請用含m的代數式表示PM的長；

（3）在（2）的條件下，聯結PC，若△PCF和△AEM相似，求m的值．

 

 

Answer 1

（1）y=-x2+x+4，（3，0）；（2）PM=-m2+4m（0＜m＜3）；（3）或1．

【解析】

試題分析：（1）根據直線的解析式易求B，C的坐標將，再把其坐標分別代入y=ax2-2ax+c，即可求出拋物線的解析式，設y=0，解方程即可求出A的坐標；

（2）先根據A、C的坐標，用待定系數法求出直線AC的解析式，進而根據拋物線和直線AC的解析式分別表示出點P、點M的坐標，即可得到PM的長；

（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E對應，則若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似時，分兩種情況進行討論：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分別用含m的代數式表示出AE、EM、CF、PF的長，根據相似三角形對應邊的比相等列出比例式，求出m的值．

試題解析：（1）∵直線y=4x+4與x軸、y軸相交于B、C兩點，

∴C坐標為（0，4），

設y=0，則x=-1，

∴B坐標為（-1，0），

∵拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）過點B、C，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為y=-x2+x+4，

設y=0，0=-x2+x+4，

解得：x=-1或3，

∴A的坐標為：（3，0）；

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，

∵A（3，0），點C（0，4），

∴，解得，

∴直線AC的解析式為y=-x+4．

∵點M的橫坐標為m，點M在AC上，

∴M點的坐標為（m，-m+4），

∵點P的橫坐標為m，點P在拋物線y=-x2+x+4上，

∴點P的坐標為（m，-m2+m+4），

∴PM=PE-ME=（-m2+m+4）-（-m+4）=-m2+4m，

即PM=-m2+4m（0＜m＜3）；

（3）在（2）的條件下，連結PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似．理由如下：

由題意，可得AE=3-m，EM=-m+4，CF=m，PF=-m2+m+4-4=-m2+m．

若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似，分兩種情況：

①若△PFC∽△AEM，則PF：AE=FC：EM，

即（-m2+m）：（3-m）=m：（-m+4），

∵m≠0且m≠3，

∴m=．

②若△CFP∽△AEM，則CF：AE=PF：EM，

即m：（3-m）=（-m2+m）：（-m+4），

∵m≠0且m≠3，

∴m=1．

綜上所述，存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似．此時m的值為或1．

考點：二次函數綜合題．