Question

【題目】如圖，直線EF、CD相交于點O，OA⊥OB，OC平分∠AOF.

(1)若∠AOE=40°，求∠BOD的度數；

(2)若∠AOE=30°，請直接寫出∠BOD的度數；

(3)觀察(1)(2)的結果，猜想∠AOE和∠BOD的數量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）20°（2）15°（3）∠BOD=∠AOE，理由見解析。

【解析】

（1）先求出∠AOF，根據角平分線定義求出∠FOC，根據對頂角相等求出∠EOD=∠FOC，求出∠BOE，即可得出答案；
（2）先求出∠AOF，根據角平分線定義求出∠FOC，根據對頂角相等求出∠EOD=∠FOC，求出∠BOE，即可得出答案；

(3)先求出∠AOF，根據角平分線定義求出∠FOC，根據對頂角相等求出∠EOD=∠FOC，求出∠BOE，即可得出答案．

解：（1）∵∠AOE+∠AOF=180°，∠AOE=40°，
∴∠AOF=140°；
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=∠AOF=70°，
∴∠EOD=∠FOC=70°；
∵OA⊥OB, ∴∠AOB=90°

∵∠BOE=∠AOB-∠AOE=50°，
∴∠BOD=∠EOD-∠BOE=20°；

（2）∵∠AOE+∠AOF=180°，∠AOE=30°，
∴∠AOF=150°；
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=∠AOF=75°，
∴∠EOD=∠FOC=75°；
∵∠BOE=∠AOB-∠AOE=60°，
∴∠BOD=∠EOD-∠BOE=15°；

(3)從（1）（2）的結果中能看出∠BOD=∠AOE，理由如下：

∵∠AOE+∠AOF=180°，
∴∠AOF=180°-∠AOE；
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=∠AOF=90°-∠AOE，
∴∠EOD=∠FOC=90°-∠AOE；
∵OA⊥OB, ∴∠AOB=90°

∵∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-∠AOE，
∴∠BOD=∠EOD-∠BOE=(90°-∠AOE)-(90°-∠AOE)=∠AOE；

∴∠BOD=∠AOE；