Question

【題目】如圖，經過點A（6，0）的直線y＝kx﹣3與直線y＝﹣x交于點B，點P從點O出發以每秒1個單位長度的速度向點A勻速運動．

（1）求點B的坐標；

（2）當△OPB是直角三角形時，求點P運動的時間；

（3）當BP平分△OAB的面積時，直線BP與y軸交于點D，求線段BD的長．

Answer 1

【答案】（1）點B的坐標（2，－2）；（2）當△OPB是直角三角形時，求點P運動的時間為2秒或4秒；（3）當BP平分△OAB的面積時，線段BD的長為2．

【解析】

（1）根據點A的坐標，利用待定系數法可求出直線AB的解析式，聯立直線AB及OB的解析式成方程組，通過解方程組可求出點B的坐標；
（2）由∠BOP=45°可得出∠OPB=90°或∠OBP=90°，①當∠OPB=90°時，△OPB為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得出OP的長，結合點P的運動速度可求出點P運動的時間；②當∠OBP=90°時，△OPB為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得出OP的長，結合點P的運動速度可求出點P運動的時間．綜上，此問得解；
（3）由BP平分△OAB的面積可得出OP=AP，進而可得出點P的坐標，根據點B，P的坐標，利用待定系數法可求出直線BP的解析式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點D的坐標，過點B作BE⊥y軸于點E，利用勾股定理即可求出BD的長．

（1）直線y＝kx﹣3過點A（6,0），

所以，0＝6k－3，解得：k＝，

直線AB為：－3，

，解得：，

所以，點B的坐標（2，－2）

　　

（2）∵∠BOP=45°，△OPB是直角三角形，
∴∠OPB=90°或∠OBP=90°，如圖1所示：
①當∠OPB=90°時，△OPB為等腰直角三角形，
∴OP=BP=2，
又∵點P從點O出發以每秒1個單位長度的速度向點A勻速運動，
∴此時點P的運動時間為2秒；
②當∠OBP=90°時，△OPB為等腰直角三角形，
∴OP=2BP=4，
又∵點P從點O出發以每秒1個單位長度的速度向點A勻速運動，
∴此時點P的運動時間為4秒．
綜上，當△OPB是直角三角形時，點P的運動時間為2秒或4秒．
（3）∵BP平分△OAB的面積，
∴S△OBP=S△ABP，
∴OP=AP，
∴點P的坐標為（3，0）．
設直線BP的解析式為y=ax+b（a≠0），
將B（2，-2），點P（3，0）代入y=ax+b，得：

，
解得：，
∴直線BP的解析式為y=2x-6．
當x=0時，y=2x-6=-6，
∴點D的坐標為（0，-6）．
過點B作BE⊥y軸于點E，如圖2所示．
∵點B的坐標為（2，-2），點D的坐標為（0，-6），
∴BE=2，CE=4，
∴BD==2，
∴當BP平分△OAB的面積時，線段BD的長為2．