Question

（如圖1），點P將線段AB分成一條較小線段AP和一條較大線段BP，如果

AP

BP

=

BP

AB

，那么稱點P為線段AB的黃金分割點，設

AP

BP

=

BP

AB

=k，則k就是黃金比，并且k≈0.618．

（1）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰△APB（如圖2），等腰△APB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為：滿足

底

腰

=

腰

底+腰

≈0.618的等腰三角形是黃金三角形；類似地，請你給出黃金矩形的定義：

 

；
（2）如圖1，設AB=1，請你說明為什么k約為0.618；
（3）由線段的黃金分割點聯想到圖形的“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成面積為S₁和面積為S₂的兩部分（設S₁＜S₂），如果

S1

S2

=

S2

S

，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．（如圖3），點P是線段AB的黃金分割點，那么直線CP是△ABC的黃金分割線嗎？請說明理由；
（4）圖3中的△ABC的黃金分割線有幾條？

Answer 1

分析：（1）類比黃金三角形的定義進行定義；
（2）（3）根據線段黃金分割點的概念和三角形的面積公式進行分析；
（4）根據（2）中的結論，得到這樣的直線有無數條．

解答：解：
（1）滿足

寬

長

=

長

寬+長

≈0.618的矩形是黃金矩形；

（2）由

BP

AB

=k得，BP=1×k=k，從而AP=1-k，
由

AP

BP

=

BP

AB

得，BP²=AP×AB，
即k²=（1-k）×1，
解得k=

-1± 5

2

，
∵k＞0，
∴k=

5 -1

2

≈0.618；

（3）因為點P是線段AB的黃金分割點，所以

AP

BP

=

BP

AB

，
設△ABC的AB上的高為h，則

S△APC

S△BPC

=

1 2 AP×h

1 2 BP×h

=

AP

BP

，

S△BPC

S△ABC

=

1 2 BP×h

1 2 AB×h

=

BP

AB

∴

S△APC

S△BPC

=

S△BPC

S△ABC

∴直線CP是△ABC的黃金分割線．

（4）由（2）知，在BC邊上也存在這樣的黃金分割點Q，則AQ也是黃金分割線，設AQ與CP交于點W，則過點W的直線均是△ABC的黃金分割線，故黃金分割線有無數條．

點評：注意線段的黃金分割點的概念的延伸，能夠根據黃金分割的定義結合三角形的面積進行分析證明．