Question

【題目】長方形為平面直角坐標系的原點，點在第三象限．

（1）如圖1，若過點的直線與長方形的邊交于點且將長方形的面積分為兩部分，求點的坐標；

（2）如圖2，為軸負半軸上一點，且是軸正半軸上一動點，的平分線交的延長線于點在點運動的過程中，的值是否變化？若不變求出其值；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點P的坐標為（-3，0）或（0，-）；（2） ．

【解析】

（1）利用長方形OABC的面積分為1：4兩部分，得出等式求出AP的長，即可得出P點坐標，再求出PC的長，即可得出OP的長，進而得出答案；
（2）首先求出∠MCF=2∠CMB，即可得出∠CNM=∠AMC-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM=2∠BMC-2∠EMC=2∠D，得出答案．

（1）如圖1，若過點B的直線BP與邊OA交于點P，依題意可知：×AB×AP=×OA×OC，

即×3×AP=×5×3，
∴AP=2
∵OA=5，
∴OP=3，
∴P（-3，0），
若過點B的直線BP與邊OC交于點P，依題意可知：×BC×PC=×OA×OC，
即×5×PC=×5×3，
∴PC=
∵OC=3，
∴OP=，
∴P（0，-）．
綜上所述，點P的坐標為（-3，0）或（0，-）．
（2）如圖2，延長BC至點F，
∵四邊形OABC為長方形，
∴OA∥BC．
∴∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCF．
∵∠CBM=∠CMB，
∴∠MCF=2∠CMB．
過點M作ME∥CD交BC于點E，
∴∠EMC=∠MCD．
又∵CD平分∠MCN，
∴∠NCM=2∠EMC．
∴∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC，
∠CNM=∠AMC-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM=2∠BMC-2∠EMC=2∠D，
∴ ．