Question

【題目】如圖，點C在線段BD上，AC⊥BD，CA=CD，點E在線段CA上，且滿足DE=AB，連接DE并延長交AB于點F．
（1）求證：DE⊥AB；
（2）若已知BC=a，AC=b，AB=c，設EF=x，則△ABD的面積用代數式可表示為；S△ABD= c（c+x）你能借助本題提供的圖形，證明勾股定理嗎？試一試吧．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在Rt△ABC和Rt△DCE中，

∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL）

∴∠BAC=∠EDC（全等三角形的對應角相等），

∵∠AEF=∠DEC（對頂角相等），∠EDC+∠DEC=90°（直角三角形兩銳角互余），

∴∠BAC+∠AEF=∠EDC+∠DEC=90°．

∴∠AFE=180°﹣（∠BAC+∠AEF）=90°．

∴DE⊥AB

（2）解：由題意知：

S△ABD=S△BCE+S△ACD+S△ABE= a2+ b2+ cx，

∵ ，

∴ ．

∴a2+b2=c2

【解析】（1）首先證明Rt△ABC≌Rt△DCE，得出∠BAC=∠EDC，進而求出∠AFE=180°﹣（∠BAC+∠AEF）=90°，即可得出答案；（2）根據S△ABD=S△BCE+S△ACD+S△ABE ， 得出a2+b2=c2即可．