Question

如圖，在等邊三角形△ABC中，AQ=PQ，PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，且PR=PS，下面給出的四個結論：①點P在∠A的平分線上，②AS=AR，③QP∥AR，④△BRP≌△QSP，則其中正確的是（　　）

A．全部正確

B．僅①和②正確

C．僅②和③正確

D．僅①和③正確

Answer 1

分析：根據角平分線性質即可推出①，根據勾股定理即可推出AR=AS，根據等腰三角形性質推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根據平行線判定推出QP∥AB即可；求出PQ=CP=BP，根據AAS推出△BRP≌△QSP即可．

解答：解：∵PR⊥AB于點R，PS⊥AC，PR=PS，
∴點P在∠A的平分線上，∴①正確；
∴∠QAP=∠BAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR²=AP²-PR²，AS²=AP²-PS²，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②正確；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③正確；
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠CAB=60°，AB=AC，
∵∠QAP=∠BAP，
∴BP=CP，
∵QP∥AB，
∴∠QPC=∠B=60°=∠C，
∴PQ=CQ，
∴△PQC是等邊三角形，
∴PQ=CP=BP，∠SQP=60°=∠B，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠BRP=∠PSQ=90°，
在△BRP和△QSP中

∠BRP=∠PSQ ∠B=∠SQP BP=PQ

∴△BRP≌△QSP，∴④正確；
故選A．

點評：本題考查了等邊三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，平行線的性質和判定，角平分線性質的應用，主要考查學生的推理能力．