Question

28． (本題12分)如圖，一拋物線的頂點A為(2，－1)，交x軸于B、C(B左C右)兩點，交y軸于點D，且B(1，0)，坐標原點為O，

(1)求拋物線解析式．

(2)連接CＤ、BD，在x軸上確定點E，使以A、C、E為頂點的三角形與△CBD相似，并求出點E的坐標．

(3)若點M(m，1)是拋物線上對稱軸右側的一點，點Q也在拋物線上，點P在x軸上，是否存在以O、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

        E      

 P點坐標為（-4，0）；（4，0）；（4+，0）．

解析:解：（1）∵拋物線的頂點A為（2，-1），可設拋物線解析式為y=a（x-2）²-1，

把B（1，0）代入得，a-1=0，解得a=1，

∴y（x-2）²-1=x²-4x+3；

（2）令x=0，得y=3，∴D點坐標為（0，3）；

令y=0，得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，∴C點坐標為（3，0）；

過A作AH⊥x軸，如圖，

易得△ODC和△ACH都為等腰直角三角形，BC=2，DC=3，AC=，

∴∠DCB=∠ACH=45°，

當以A、C、E為頂點的三角形與△CBD相似，則∠DCB=∠ACE=45°，

若CE：CB=CA：CD，即CE：2=：3，解得CE=，

∴OE=3-=，則E點坐標為（，0）；

若CE：CD=CA：CB，即CE：3=：2，解得CE=3，

∴OE=3-3=0，則E點坐標為（0，0）舍去；

（3）存在．P點坐標為（-4，0）；（4，0）；（4+，0）．

 先確定M（2+，1），然后分類討論：當OP為對角線，則M與Q到x軸的距離相等，都為1，所以Q點在A點，求出AM的解析式，得到與x軸的交點G的坐標，P1與O關于G對稱，可得P1坐標；當OM為對角線，則MQ∥x軸，這樣可確定Q2的坐標，然后利用平行四邊形的性質可確定P2的坐標；同理可得到P3的坐標．