Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于，兩點（點在軸正半軸上），為等腰直角三角形，且面積為，現將拋物線沿方向平移，平移后的拋物線過點時，與軸的另一點為，其頂點為，對稱軸與軸的交點為．

求、的值．

連接，試判斷是否為等腰三角形，并說明理由．

現將一足夠大的三角板的直角頂點放在射線或射線上，一直角邊始終過點，另一直角邊與軸相交于點，是否存在這樣的點，使以點、、為頂點的三角形與全等？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】，；是等腰三角形，理由見解析；存在，點的坐標為或或或或，使，，三點為頂點的三角形與全等．

【解析】

(1)先求出A（0,c），則OA=c，再根據等腰直角三角形的性質得OA=OB=OC=c，再由三角形面積公式得=4，計算得出c=2，把C（2，0）代入即可求出a的值；

(2)如圖1，先利用待定系數法求出直線AB的解析式為y=x+2，設F（t，t+2），利用拋物線平移的規律可設平移后的拋物線解析式為，把C（2，0）代入解得：t=6，則平移后的拋物線解析式為，所以F（6，8），利用勾股定理計算出OF=10,由拋物線與x軸的交點問題確定E（10，0），則OE=OF=10，因此可判斷△OEF為等腰三角形；

(3)分類討論：當點Q在射線HF上，點P在x軸上方時，如圖2，利用三角形全等的判定方法，當EQ=EO=10時，△EQP≌△EOP，則可根據勾股定理計算出QH=，于是得Q點的坐標為（6，）；當點Q在射線HF上，點P在x軸下方時，如圖3，有PQ=OE=10，利用三角形相似的判定方法，△PKQ∽△QHK，計算出QH的值，得到Q點的坐標為（6，3）；

當點Q在射線AF上，當PQ=OE=10時，如圖4，有QE=PO，得出Q點的坐標為（10，12）；當點Q在射線AF上，當EQ=EO=10時，設Q（m，m+2），利用兩點間的距離公式得到關于m的方程為：，解方程求出m的值，即可得到Q點的坐標．

∵拋物線與軸交于點，

∴，則，

∵為等腰直角三角形，

∴，

∴，解得，

∴，

把代入得，解得；

是等腰三角形．理由如下：如圖，

設直線的解析式為，

把、代入得，解得，

則直線的解析式為，

設，

∵拋物線沿方向平移，平移后的拋物線過點時，頂點為，

∴平移后的拋物線解析式為，

把代入得，解得，

∴平移后的拋物線解析式為，

∴，

∴，

令，，解得，，

∴，

∴，

∴為等腰三角形；

存在．點的位置分兩種情形．

情形一：點在射線上，

當點在軸上方時，如圖，

∵，，

∴當時，，

而，

∴，

此時點坐標為；

當點在軸下方時，如圖，有，過點作于點，則有，

在中，，

∵，∴，

∵，

∴，

∴，∴，解得，

∴．

情形二、點在射線上，

當時，如圖，有，

∴四邊形為矩形，∴的橫坐標為，

當時，，∴．

當時，如圖，

過作軸于點，過點作軸的垂線交于點．

設的坐標為為，∴，，，

在中，有，即，解得，

當時，如圖，，∴，

當時，如圖，，∴，

綜上所述，點的坐標為或或或或，使，，三點為頂點的三角形與全等．