Question

【題目】定義：若中，其中一個內角是另一個內角的一半，則稱為“半角三角形”．

（1）若為半角三角形，，則其余兩個角的度數為 ．

（2）如圖1，在平行四邊形中，，點在邊上，以為折痕，將向上翻折，點恰好落在邊上的點，若，求證：為半角三角形；

（3）如圖2，以的邊為直徑畫圓，與邊交于，與邊交于，已知的面積是面積的倍．

①求證：．

②若是半角三角形，，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）45°，45°或30°，60°；（2）見解析；（3）①見解析，②0≤BN≤3

【解析】

（1）根據半角三角形的定義，直接求出其余兩個角的度數，即可；

（2）由平行四邊形的性質得：∠D＝108°，由翻折可知：∠EFB＝72°，從而得∠EFD＝18°，∠DEF=54°，進而即可得到結論；

（3）①如圖2中，連接AN，易得△CMN∽△CBA，從而得＝，由銳角三角函數的定義，即可sin∠CAN＝，進而即可得到結論；②由題意得：△ABC是半角三角形，∠B＝30°或90°時，BN取得最值，進而即可求解．

（1）∵Rt△ABC為半角三角形，∠A＝90°，

∴∠B＝∠C＝45°，或∠B＝60°，∠C＝30°或∠B＝30°，∠C＝60°，

∴其余兩個角的度數為45°，45°或30°，60°，

故答案為45°，45°或30°，60°；

（2）如圖1中，∵平行四邊形ABCD中，∠C＝72°，

∴∠D＝108°，

由翻折可知：∠EFB＝∠C＝72°，

∵，

∴∠EFD＝18°，

∴∠DEF＝180°-108°-18°=54°，

∴∠DEF＝∠D，即△DEF是半角三角形；

（3）①如圖2中，連接AN．

∵AB是直徑，

∴∠ANB＝90°，

∵∠C＝∠C，∠CMN＝∠B，

∴△CMN∽△CBA，

∴（）2＝=，即＝，

∵在Rt△ACN中，sin∠CAN＝＝，

∴∠CAN＝30°，

∴∠C＝60°；

②∵△ABC是半角三角形，∠B＝30°或90°時，BN取得最值，

∴0≤BN≤3．