Question

如圖所示，把正方形ABCD繞著點A，按順時針方向旋轉得到正方形AEFG，邊FG與BC交于點H．
（1）線段HG與線段HB相等嗎？請先觀察猜想，然后再證明你的猜想；
（2）若旋轉角為30°，AB=

5

，求線段HG的長．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質以及HL定理得出Rt△AGH≌Rt△ABH即可得出答案；
（2）利用全等三角形的性質得出∠GAH=∠HAB，GH=BH，進而利用銳角三角函數關系得出HG的長．

解答：解：（1）HG=HB，
理由：方法1，連結AH，
∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形
∴∠B=∠G=90°，由題意知AG=AB，
在Rt△AGH和Rt△ABH中

AH=AH AG=AB

∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL），
∴HG=HB；
方法2：連結GB，
∵四邊形ABCE，AEFG都是正形，
∴∠ABC=∠AGF=90°
由題意知AB=AG，
∴∠AGB=∠ABG，
∴∠HGB=∠HBG，
∴HG=HB；

（2）∵Rt△AGH≌Rt△ABH，
∴∠GAH=∠HAB，GH=BH，
∵旋轉角為30°，AB=

5

，
∴∠GAH=∠HAB=30°，
∴tan30°=

HB

AB

=

GH

AG

，
∴HG=

3

3

×

5

=

15

3

．

點評：此題主要考查了旋轉的性質以及銳角三角函數關系以及全等三角形的判定與性質，得出Rt△AGH≌Rt△ABH是解題關鍵．