Question

關于二次函數y=mx²-x-m+1（m≠0）．以下結論：①不論m取何值，拋物線總經過點（1，0）；②若m＜0，拋物線交x軸于A、B兩點，則AB＞2；③當x=m時，函數值y≥0；④若m＞1，則當x＞1時，y隨x的增大而增大．其中正確的序號是（　　）

A．①②

B．②③

C．①②④

D．①③④

Answer 1

分析：①令y=0，利用因式分解法求得相應的x的值，即該函數所經過的定點坐標；
②根據AB=|x₁-x₂|求解；
③需要對m的取值進行討論：當m≤1時，y≤0；
④根據二次函數圖象的開口方向、對稱軸方程以及單調性進行判斷．

解答：解：①由二次函數y=mx²-x-m+1（m≠0），得
y=[m（x+1）-1]（x-1）；
令y=0，則m（x+1）-1=0或x-1=0，即x₁=

1-m

m

，x₂=1，
所以該函數經過點（

1-m

m

，0）、（1，0），
∴無論m取何值，拋物線總經過點（1，0）；
故本選項正確；

②若m＜0時，AB=|x₂-x₁|=|1-

1-m

m

|=|2-

1

m

|＞|2|=2，即AB＞2；故本選項正確；

③根據題意，得
y=m³-2m+1=（m-1）（m²+m-1）（m≠0），
∵m²＞0，
∴m²+m-1＞m-1，
當m-1≤0，即m≤1時，
（m-1）（m²+m-1）≤（m-1）²，
∵（m-1）²≥0，
∴（m-1）（m²+m-1）≤0或（m-1）（m²+m-1）≥0，
即y≤0或y≥0；
故本選項錯誤；

④當m＞1時，x₁=

1-m

m

＜0＜x₂，且拋物線該拋物線開口向上，
∴當x＞1時，該函數在區間[1，+∞）上是增函數，即y隨x的增大而增大．
故本選項正確；
綜上所述，正確的說法有①②④．
故選C．

點評：本題主要考查拋物線與x軸的交點的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握拋物線的圖象以及二次函數的性質，此題難度一般．