Question

【題目】關于x的二次函數y=2sinx2-(4sin+)x-sin+，其中為銳角，則：①當a為30°時，函數有最小值﹣；②函數圖象與坐標軸可能有三個交點，并且當a為45°時，連接這三個交點所圍成的三角形面積小于1；③當a＜60°時，函數在x＞1時，y隨x的增大而增大；④無論銳角a怎么變化，函數圖象必過定點．其中正確的結論有（ ）

A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由于2sin＞0，所以函數一定有最小值，將a的值代入拋物線的解析式中，將解析式寫成頂點式可得函數的最小值．

②令y=0，在所得方程中若根的判別式大于0，那么拋物線的圖象與坐標軸的交點可能有三個：與x軸有兩個交點，與y軸有一個交點；當拋物線經過原點時，拋物線的圖象與坐標軸只有兩個交點．首先將a的值代入解析式，先設拋物線與x軸的兩個交點橫坐標為x1、x2，那么這兩點間的距離可表示為|x1-x2|=，以這條線段為底，拋物線與y軸交點縱坐標的絕對值為高即可得到三交點圍成的三角形的面積值，然后判斷是否小于1即可．

③由①知，拋物線的開口向上，所以一定有最小值；首先求出拋物線的對稱軸方程，若x=1在拋物線對稱軸右側，那么y隨x的增大而增大；若x=1在拋物線對稱軸的左側，那么隨x的增大，y值先減小后增大．

④圖象若過定點，那么函數值就不能受到變量sina的影響，所以先將所有含sina的項拿出來，然后令sina的系數為0，可據此求出x的值，將x的值代入拋物線的解析式中，即可得到這個定點的坐標．

解：①當a=30°時，sina=，二次函數解析式可寫作：y=x2-x=（x-）2-；

所以當a為30°時，函數的最小值為-；故①正確．

②令y=0，則有：2sinax2-（4sina+）x-sina+=0，

△=（4sina+）2-4·2sina·（-sina+）=24sin2a+＞0，

所以拋物線與x軸一定有兩個交點，再加上拋物線與y軸的交點，即與坐標軸可能有三個交點（當圖象過原點時，只有兩個交點）；

設拋物線與x軸的交點為（x1，0）、（x2，0）；

當a=45°時，sina=，得：y=x2-（2+）x-，則：

三角形的面積 S===≈0.3＜1

故②正確．

③∵2sina＞0，且對稱軸x==1+＞1，

∴x=1在拋物線對稱軸的左側，因此 x＞1時，y隨x的增大先減小后增大；

故③錯誤．

④y=2sinax2-（4sina+12）x-sina+=sina（2x2-4x-1）-x+；

當2x2-4x-1=0，即 x=1±時，拋物線經過定點，且坐標為：（1+，-）、（1-，）；

故④正確．

綜上，正確的選項是①②④

故本題答案選C．