Question

【題目】(2016山東濰坊第21題)正方形ABCD內接于⊙O，如圖所示，在劣弧上取一點E，連接DE、BE，過點D作DF∥BE交⊙O于點F，連接BF、AF，且AF與DE相交于點G，求證：

（1）四邊形EBFD是矩形；

（2）DG=BE．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據正方形的性質、圓周角定理及平行線的性質易證∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，即可判定四邊形EBFD是矩形；（2）根據正方形的性質可得弧AD的度數是90°，進而得出BE=DF，則BE=DG．

試題解析：（1）∵正方形ABCD內接于⊙O，

∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，

又∵DF∥BE，

∴∠EDF+∠BED=180°，

∴∠EDF=90°，

∴四邊形EBFD是矩形；

（2））∵正方形ABCD內接于⊙O，

∴弧AD的度數是90°，

∴∠AFD=45°，

又∵∠GDF=90°，

∴∠DGF=∠DFC=45°，

∴DG=DF，

又∵在矩形EBFD中，BE=DF，

∴BE=DG．