Question

【題目】如圖，已知直線y=x+1與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線y=x2+bx+c與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為（1，0）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AM﹣MC|的值最大，求出點M的坐標；

（3）動點P在x軸上移動，當△PAE是直角三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x+1；（2）M（，﹣）．（3）點P的坐標為（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）．

【解析】

試題分析：（1）根據直線的解析式求得點A（0，1），那么把A，B坐標代入y=x2+bx+c即可求得函數解析式．

（2）易得|AM﹣MC|的值最大，應找到C關于對稱軸的對稱點B，連接AB交對稱軸的一點就是M．應讓過AB的直線解析式和對稱軸的解析式聯立即可求得點M坐標．

（3）讓直線解析式與拋物線的解析式結合即可求得點E的坐標．△PAE是直角三角形，應分點P為直角頂點，點A是直角頂點，點E是直角頂點三種情況探討．

試題解析：（1）將A（0，1）、B（1，0）坐標代入y=x2+bx+c

得，

解得：．

∴物線的解折式為y=x2﹣x+1；

（2）拋物線的對稱軸為x=，B、C關于x=對稱，

∴MC=MB，

要使|AM﹣MC|最大，即是使|AM﹣MB|最大，

由三角形兩邊之差小于第三邊得，當A、B、M在同一直線上時|AM﹣MB|的值最大．

知直線AB的解析式為y=﹣x+1

∴，

解得：．

則M（，﹣）．

（3）設點E的橫坐標為m，則它的縱坐標為m2﹣m+1，

即E點的坐標（m，m2﹣m+1），…

又∵點E在直線y=x+1上，

∴m2﹣m+1=m+1

解得m1=0（舍去），m2=4，

∴E的坐標為（4，3）．

（Ⅰ）當A為直角頂點時，

過A作AP1⊥DE交x軸于P1點，設P1（a，0）易知D點坐標為（﹣2，0），

由Rt△AOD∽Rt△P1OA得

,即，

∴a=，a=-（舍去），

∴P1（，0）．

（Ⅱ）同理，當E為直角頂點時，過E作EP2⊥DE交x軸于P2點，

由Rt△AOD∽Rt△P2ED得，

即：，

∴EP2=

∴DP2=

∴a=，

∴P2點坐標為（，0）．

（Ⅲ）當P為直角頂點時，過E作EF⊥x軸于F，設P3（b、0），

由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，

由得：，

解得b1=3，b2=1，

∴此時的點P3的坐標為（1，0）或（3，0），

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）．