Question

（2012•大慶）已知半徑為1cm的圓，在下面三個圖中AC=10cm，AB=6cm，BC=8cm，在圖2中∠ABC=90°．
（l）如圖1，若將圓心由點A沿A→C方向運動到點C，求圓掃過的區域面積；
（2）如圖2，若將圓心由點A沿A→B→C方向運動到點C，求圓掃過的區域面積；
（3）如圖3，若將圓心由點A沿A→B→C→A方向運動回到點A．
則：I）陰影部分面積為

6cm²

；Ⅱ）圓掃過的區域面積為

（42+π）cm²

．

Answer 1

分析：（1）根據圖形可得，圓掃過的面積等于一個長為AC，寬為直徑的矩形面積，加上一個圓的面積，從而求解即可．
（2）根據（1）的計算方法，由點A沿A→B→C方向運動到點C，求圓掃過的區域面積，等于圓經過AB掃過的面積+經過BC掃過的面積-（

3

4

個圓的面積+一個邊長為r的正方形的面積）；
（3）根據題意補充圖形，先判斷出DA和FC為角平分線，然后利用二倍角公式（tan

1

2

α=

sinα

1+cosα

）求出陰影部分的兩條直角邊；圓掃過的區域面積=題（2）中掃過的面積+圓經過CA掃過的面積-（圖3中兩個藍線所畫陰影部分的面積）．

解答：解：（1）

由題意得，圓掃過的面積=DE×AC+πr²=（20+π）cm²．
（2）

圓掃過的區域面積=圓經過AB掃過的面積+經過BC掃過的面積-圖2中紅線圍成區域的面積（即是

3

4

個圓的面積+一個邊長為r的正方形的面積），
結合（1）的求解方法，可得所求面積=（2r×AB+πr²）+（2r×BC+πr²）-（

3

4

πr²+r²）=2r（AB+BC）+

5

4

πr²-1=（27+

5

4

π）cm²．
（3）根據題意補充圖形如下所示，

連接MH，AG和AD；連接ON、CP和CF，
∵AG⊥GD，AH⊥DH，AG=AH=1cm，
∴DA為∠GDH的角平分線（角平分線性質定理的逆定理），
∴∠ADG=∠ADH=

1

2

∠GDH=

1

2

∠EDF，
∵sin∠EDF=sin∠BAC=

4

5

，cos∠EDF=cos∠BAC=

3

5

，
∴tan∠ADG=

AG

GD

=tan

1

2

∠EDF=

sin∠EDF

1+cos∠EDF

=

4 5

1+ 3 5

=

1

2

，
∴DG=DH=2cm，
同理可求出：FP=FO=3cm，
∴DE=AB-DH-r=6-2-1=3cm，EF=BC-FO-r=8-3-1=4cm，
故陰影部分的面積為：

1

2

×3×4=6cm²；
而此時圓掃過的區域面積=題（2）中掃過的面積+圓經過CA掃過的面積-（圖3中兩個藍線所畫陰影部分的面積），
∵∠MAG+∠GAB=∠GAB+∠BAC=90°，
∴∠MAG=∠BAC，
同理可求出：∠PCN=∠BCA，
∴∠MAG+∠PCN=∠BAC+∠BCA=90°，
∴圖3中兩個藍線所畫陰影部分的面積=（△AGD+△AHD+△FPC+△FOC+

5

4

個圓）的面積=2×

1

2

×1×2+2×

1

2

×1×3+

5

4

•π•1²=（5+

5

4

π）cm²，
又圓經過CA掃過的面積=2r×AC+πr²=（20+π）cm²，
∴圓掃過的區域面積=（27+

5

4

π）+（20+π）-（5+

5

4

π）=（42+π）cm²．

點評：此題屬于圓的綜合題，解答本題的關鍵是根據圖形得出掃描過后的面積是由哪些部分組成的，有一定難度，注意仔細觀察圖形，并對數形結合思想進行靈活運用．