Question

我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的稱為股，斜邊稱為弦．并發(fā)現(xiàn)了“勾股定理”．若直角三角形三邊長(zhǎng)都為正整數(shù)，則稱為一組勾股數(shù)，如“勾3股4弦5”．勾股數(shù)的尋找與判斷不是件很容易的事，不過還是有一些規(guī)律可循的．（以下n為正整數(shù)，且n≥2）
（1）觀察：3、4、5；　 5、12、13；　7、24、25；…，
小明發(fā)現(xiàn)這幾組勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，從3起就沒有間斷過，且股和弦只相差1．小明根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，推算出這一類的勾股數(shù)可以表示為：2n-1、2n（n-1）、2n（n-1）+1．請(qǐng)問：小明的這個(gè)結(jié)論正確嗎？
答______．（直接回答正確或錯(cuò)誤，不必證明）
（2）繼續(xù)觀察第一個(gè)數(shù)為偶數(shù)的情況：4、3、5；　 6、8、10；　 8、15、17；…，
親愛的同學(xué)們，你能像小明一樣發(fā)現(xiàn)每組勾股數(shù)中的其他兩邊長(zhǎng)都有何規(guī)律嗎？若用2n表示第一個(gè)偶數(shù)，請(qǐng)分別用n的代數(shù)式來表示其他兩邊，并證明確實(shí)是勾股數(shù)．

Answer 1

解：（1）結(jié)論正確；

（2）∵這些數(shù)為：4、3、5； 6、8、10； 8、15、17；…，
若用2n表示第一個(gè)偶數(shù)，那么其它兩個(gè)數(shù)為n²-1，c=n²+1
∴（2n）²+（n²-1）²=n⁴+2n²+1=（n²+1 ）²，
∴2n、n²-1、n²+1是一組勾股數(shù)．
故答案為：正確．
分析：（1）小明的這個(gè)結(jié)論正確嗎．可以利用勾股定理的逆定理證明；
（2）由于這些數(shù)為：4、3、5； 6、8、10； 8、15、17；…，若用2n表示第一個(gè)偶數(shù)，那么其它兩個(gè)數(shù)為n²-1，c=n²+1，然后利用勾股定理的逆定理即可解決問題．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a²+b²=c²，則△ABC是直角三角形．