Question

閱讀下列材料：若關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個實數根分別為x₁、x₂，則x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．
解決下面問題：已知關于x的一元二次方程（2x+n）²=4x有兩個非零不等實數根x₁、x₂，設m=

1

x1

+

1

x2

．
（1）求n的取值范圍；
（2）試用關于n的代數式表示出m；
（3）是否存在這樣的n值，使m的值等于1？若存在，求出這樣的所有n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由關于x的一元二次方程（2x+n）²=4x有兩個非零不等實數根，即可得△=[4（n-1）]²-4×4n²＞0且n²≠0，繼而求得n的取值范圍；
（2）由x₁，x₂是關于x的一元二次方程4x²+4（n-1）x+n²=0的兩個實數根，根據根與系數的關系可得：x₁+x₂=-

4(n-1)

4

=1-n，x₁•x₂=

n2

4

，又由m=

1

x1

+

1

x2

，即可求得答案；
（3）當m=1時，即

4(1-n)

n2

=1，解此方程即可求得n的值，又由（1）中n的取值范圍是n＜

1

2

，且n≠0，即可求得n的值．

解答：解：（1）將方程整理得：4x²+4（n-1）x+n²=0，
∵方程有兩個非零不等實數根，
∴△=[4（n-1）]²-4×4n²＞0且n²≠0，
解得n＜

1

2

，且n≠0
∴n的取值范圍是n＜

1

2

，且n≠0；

（2）∵x₁，x₂是關于x的一元二次方程4x²+4（n-1）x+n²=0的兩個實數根，
∴x₁+x₂=-

4(n-1)

4

=1-n，x₁•x₂=

n2

4

，
∴m=

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

1-n

n2 4

=

4(1-n)

n2

；

（3）存在．
理由：當m=1時，即

4(1-n)

n2

=1，
整理得：n²+4n-4=0，
解得：n=-2±2

2

，
∵n＜

1

2

，
∴n=-2+2

2

不符合題意，舍去；
∴使m=1的值存在，此時n=-2-2

2

．

點評：此題考查了一元二次方程根與系數的關系、根的判別式的應用以及一元二次方程的解法．此題難度適中，注意掌握如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根，那么有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

的應用．