Question

【題目】如圖，一次函數y=k1x+5（k1＜0）的圖象與坐標軸交于A，B兩點，與反比例函數y= （k2＞0）的圖象交于M，N兩點，過點M作MC⊥y軸于點C，已知CM=1．

（1）求k2﹣k1的值；
（2）若 = ，求反比例函數的解析式；
（3）在（2）的條件下，設點P是x軸（除原點O外）上一點，將線段CP繞點P按順時針或逆時針旋轉90°得到線段PQ，當點P滑動時，點Q能否在反比例函數的圖象上？如果能，求出所有的點Q的坐標；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵MC⊥y軸于點C，且CM=1，

∴M的橫坐標為1，

當x=1時，y=k1+5，

∴M（1，k1+5），

∵M在反比例函數的圖象上，

∴1×（k1+5）=k2，

∴k2﹣k1=5

（2）

解：如圖1，過N作ND⊥y軸于D，

∴CM∥DN，

∴△ACM∽△ADN，

∴ ，

∵CM=1，

∴DN=4，

當x=4時，y=4k1+5，

∴N（4，4k1+5），

∴4（4k1+5）=k2①，

由（1）得：k2﹣k1=5，

∴k1=k2﹣5②，

把②代入①得：4（4k2﹣20+5）=k2，

k2=4；

∴反比例函數的解析式：y=

（3）

解：當點P滑動時，點Q能在反比例函數的圖象上；

如圖2，

CP=PQ，∠CPQ=90°，

過Q作QH⊥x軸于H，

易得：△COP≌△PHQ，

∴CO=PH，OP=QH，

由（2）知：反比例函數的解析式：y= ；

當x=1時，y=4，

∴M（1，4），

∴OC=PH=4，

設P（x，0），

∴Q（x+4，x），

當點Q落在反比例函數的圖象上時，

x（x+4）=4，

x2+4x+4=8，

x=﹣2± ，

當x=﹣2+2 時，x+4=2+2 ，如圖2，Q（2+2 ，﹣2+2 ）；

當x=﹣2﹣2 時，x+4=2﹣2 ，如圖3，Q（2﹣2 ，﹣2﹣2 ）；

如圖4，CP=PQ，∠CPQ=90°，設P（x，0），

過P作GH∥y軸，過C作CG⊥GH，過Q作QH⊥GH，

易得：△CPG≌△PQH，

∴PG=QH=4，CG=PH=x，

∴Q（x﹣4，﹣x），

同理得：﹣x（x﹣4）=4，

解得：x1=x2=2，

∴Q（﹣2，﹣2），

綜上所述，點Q的坐標為（2+2 ，﹣2+2 ）或（2﹣2 ，﹣2﹣2 ）或（﹣2，﹣2）．

【解析】（1）根據點M的坐標代入反比例關系：y= 中，可得結論；（2）根據△ACM∽△ADN，得 ，由CM=1得DN=4，同理得N的坐標，代入反比例函數式中可得k2的值；（3）如圖2，點P在x軸的正半軸上時，繞P順時針旋轉到點Q，根據△COP≌△PHQ，得CO=PH，OP=QH，設P（x，0），表示Q（x+4，x），代入反比例函數的關系式中可得Q的兩個坐標；
如圖3，點P在x軸的負半軸上時；
如圖4，點P在x軸的正半軸上時，繞P逆時針旋轉到點Q，同理可得結論．
【考點精析】關于本題考查的反比例函數的性質，需要了解性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大才能得出正確答案．