Question

5．已知正比例函數y=x的圖象與反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象有一個交點的縱坐標是2．
（1）填空：這個反比例函數的圖象位于第一、三象限，在圖象的每一支上，y隨x的增大而減小；
（2）求這個反比例函數的解析式；
（3）當x=-3時，求反比例函數y=$\frac{k}{x}$的值；
（4）當$\frac{1}{2}$＜x＜4時，求y=$\frac{k}{x}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據已知條件得到k=4＞0，根據反比例函數的性質即可得到結論；
（2）由正比例函數y=x的圖象與反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象有一個交點的縱坐標是2．得到這個交點的坐標為（2，2），把點（2，2）代入y=$\frac{k}{x}$，得2=$\frac{k}{2}$，即可得到結論；
（3）把x=-3代入y=$\frac{4}{x}$，即可得到結果；
（4）把x=$\frac{1}{2}$代入y=$\frac{4}{x}$，得y=8；把x=4代入y=$\frac{4}{x}$，得y=1；于是得到結論．

解答 解：（1）∵正比例函數y=x的圖象與反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象有一個交點的縱坐標是2，
∴交點坐標為（2，2），
∴k=4＞0，
∴這個反比例函數的圖象位于第一、三象限；在圖象的每一支上，y隨x的增大而減小；
故答案為：第一、三，減小；

（2）∵正比例函數y=x的圖象與反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象有一個交點的縱坐標是2．
∴這個交點的坐標為（2，2），
把點（2，2）代入y=$\frac{k}{x}$，得2=$\frac{k}{2}$，
∴k=4，
∴這個反比例函數的解析式是y=$\frac{4}{x}$；

（3）把x=-3代入y=$\frac{4}{x}$，得y=$\frac{4}{-3}$=-$\frac{4}{3}$，

（4）把x=$\frac{1}{2}$代入y=$\frac{4}{x}$，得y=8；
把x=4代入y=$\frac{4}{x}$，得y=1；
∴當$\frac{1}{2}$＜x＜4時，求y的取值范圍是 1＜y＜8．

點評 此題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，函數圖象上點的坐標特征，用待定系數法求函數解析式，反比例函數的增減性，正確的求出函數的解析式是解題的關鍵．