Question

（2005•畢節地區）如圖，拋物線y=-x²+（6-）x+m-3與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點（x₁＜x₂），交y軸于C點，且x₁+x₂=0．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點坐標及對稱軸方程．
（2）在拋物線上是否存在一點P使△PBC≌△OBC？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據x₁+x₂=0，可得出拋物線的對稱軸為y軸即x=0，由此可求出m的值．進而可求出拋物線的解析式．根據拋物線的解析式即可得出其頂點坐標和對稱軸方程．
（2）如果△PBC≌△OBC，由于△OBC是等腰直角三角形，那么P有兩種可能：①P，O重合；②P與O關于直線BC對稱，而這兩種P點均不在拋物線上，因此不存在這樣的P點．
解答：解：（1）m=±6，
∵拋物線與y軸交于正半軸上，
∴m=6．
拋物線解析式y=-x²+3，
∴拋物線頂點坐標C（0，3），拋物線對稱軸方程x=0．

（2）B點坐標為（3，0）．
假設存在一點P使△PBC≌△OBC．
因為△OBC是等腰直角三角形，BC是公共邊，
故P點與O點必關于BC所在直線對稱．點P坐標是（3，3）．
當x=3時，y≠3，即點P不在拋物線上，
所以不存在這樣的點P，使△PBC≌△OBC．
點評：本題主要考查了二次函數的性質、二次函數解析式的確定以及全等三角形的判定等知識點．